Ύπαρξη $x_0$

Για τις συναρτήσεις $f, g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ υποθέτουμε ότι η $f$ είναι $1-1$ και επί και για αυτές ισχύει $f(x)+g(x)=2$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$. Να δείξετε ότι υπάρχει $x_0$ τέτοιο ώστε

$$f\left ( f\left ( x_0 \right ) \right ) + g \left ( g\left ( x_0 \right ) \right ) = 2$$

Λύση

Επαναληπτική ... άσκηση

Δίδεται η συνάρτηση $f:[1, 2] \rightarrow \mathbb{R}$ η οποία είναι παραγωγίσιμη με συνεχή τη πρώτη παράγωγο. Αν γνωρίζετε ότι $f(1)=2$ , $f'(x)<0$ για κάθε $x \in [1, 2]$ τότε

1. Να αποδειχθεί ότι η $f$ είναι αντιστρέψιμη.

Αν ισχύει η σχέση $$\int_{f(1)}^{f(2)} f^{-1}(t) \, {\rm d}t + \int_{1}^{2} f(t) \,{\rm d}t =0$$ όπου $f^{-1}$ είναι η αντίστροφη της $f$ για την οποία γνωρίζετε ότι είναι συνεχής τότε:


2. Να υπολογιστεί το $f(2)$ και να βρεθεί το σύνολο τιμών της $f$.
3. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα , τουλάχιστον, $\xi \in (1, 2)$ τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της $\mathcal{C}_f$ στο σημείο $\left ( \xi, f\left ( \xi \right ) \right )$ να 'ναι παράλληλη στην ευθεία $y=-x$.
4. Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει τη διχοτομό της πρώτης και τρίτης γωνίας σε μοναδικό σημείο $x_0$.
5. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν $\xi_1, \; \xi_2 \in (1, 2)$ τέτοια ώστε $f'\left ( \xi_1 \right )  f'\left ( \xi_2 \right ) = 1$. 
6. Αν ισχύει ότι $\displaystyle \int_{1}^{2} f(x) \, {\rm d}x =\frac{3}{2}$ τότε δείξατε ότι:
   
   $$\int_{1}^{2}\frac{4}{f(x)} \, {\rm d}x \leq 3$$
   

Λύση

Παίζοντας με την εφαπτομένη και την αντίστροφη αυτής

Το παρακάτω θέμα προέκυψε από ένα θέμα του mathematica.gr που είχε προτείνει ο Θάνος. Συγκεκριμένα πρόκειται για το θέμα που βρίσκεται εδώ . 

Έστω η συνάρτηση $f(x)=\tan x, \; x \in \left[0, \frac{\pi}{2} \right)$.

1. Να δείξετε ότι η $f$ αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης.
2. Δεδομένου ότι η $f^{-1}$ είναι συνεχής να δείξετε ότι είναι και παραγωγίσιμη με παράγωγο
   
   $$\left ( f^{-1} \right )'(x)=\frac{1}{x^2+1}, \; x \geq 0$$
3. Να δείξετε ότι $f^{-1}(x)+f^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}$ για κάθε $x>0$.
4. Έστω $a>0$. Να υπολογίσετε τη τιμή του ολοκλήρωματος:
   
   $$\mathcal{J}=\int_{1/a}^{a}\frac{f^{-1}(x)}{x}\, {\rm d}x$$

Λύση