Ύπαρξη $x_0$

Για τις συναρτήσεις $f, g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ υποθέτουμε ότι η $f$ είναι $1-1$ και επί και για αυτές ισχύει $f(x)+g(x)=2$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$. Να δείξετε ότι υπάρχει $x_0$ τέτοιο ώστε

$$f\left ( f\left ( x_0 \right ) \right ) + g \left ( g\left ( x_0 \right ) \right ) = 2$$

Λύση

Ας πούμε πως μία συνάρτηση λέγεται "επί" αν για κάθε στοιχείο $y$ του συνόλου τιμών υπάρχει ένα $x$ στο σύνολο ορισμού, έτσι ώστε $f(x)=y$. Περισσότερες πληροφορίες εδώ .

Παρατηρούμε ότι $g(x)=2-f(x)$. Οπότε:

\begin{align*}
f\left ( f(x) \right ) + g\left ( g(x) \right )=2 &\Leftrightarrow  f\left ( f(x) \right ) + 2 - f\left ( 2-f(x) \right )=2\\
 &\Leftrightarrow f\left ( f(x) \right )= f \left ( 2-f(x) \right )\\
 &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\overset{f:1-1}{\Leftarrow \!=\! =\! =\! \Rightarrow} f(x) = 2-f(x)\\
 &\Leftrightarrow f(x)=1
\end{align*}

Οπότε αναγόμαστε στο να δείξουμε ότι η $f(x)=1$ έχει μοναδική ρίζα κάτι το οποίο ισχύει αφού η $f$ είναι $1-1$ και επί.

Το θέμα μπορεί να βρεθεί και στο mathematica.gr