Επαναληπτική ... άσκηση

Δίδεται η συνάρτηση $f:[1, 2] \rightarrow \mathbb{R}$ η οποία είναι παραγωγίσιμη με συνεχή τη πρώτη παράγωγο. Αν γνωρίζετε ότι $f(1)=2$ , $f'(x)<0$ για κάθε $x \in [1, 2]$ τότε

1. Να αποδειχθεί ότι η $f$ είναι αντιστρέψιμη.

Αν ισχύει η σχέση $$\int_{f(1)}^{f(2)} f^{-1}(t) \, {\rm d}t + \int_{1}^{2} f(t) \,{\rm d}t =0$$ όπου $f^{-1}$ είναι η αντίστροφη της $f$ για την οποία γνωρίζετε ότι είναι συνεχής τότε:


2. Να υπολογιστεί το $f(2)$ και να βρεθεί το σύνολο τιμών της $f$.
3. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα , τουλάχιστον, $\xi \in (1, 2)$ τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της $\mathcal{C}_f$ στο σημείο $\left ( \xi, f\left ( \xi \right ) \right )$ να 'ναι παράλληλη στην ευθεία $y=-x$.
4. Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει τη διχοτομό της πρώτης και τρίτης γωνίας σε μοναδικό σημείο $x_0$.
5. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν $\xi_1, \; \xi_2 \in (1, 2)$ τέτοια ώστε $f'\left ( \xi_1 \right )  f'\left ( \xi_2 \right ) = 1$. 
6. Αν ισχύει ότι $\displaystyle \int_{1}^{2} f(x) \, {\rm d}x =\frac{3}{2}$ τότε δείξατε ότι:
   
   $$\int_{1}^{2}\frac{4}{f(x)} \, {\rm d}x \leq 3$$
   

Λύση

Πρόκειται για μία πολύ ενδιαφέρουσα άσκηση που θίγει διάφορες επαναληπτικές πτυχές του μαθήματος των Μαθηματικών Προσανατολισμού (πρώην κατεύθυνσης). 

1. Προφανώς η $f$ είναι αντιστρέψιμη αφού είναι γνησίως φθίνουσα διότι $f'(x)<0 \; \forall x \in [1, 2]$.  


2.  Από τη σχέση που δίδεται έχουμε:
   
   \begin{align*}
   \int_{f(1)}^{f(2)} f^{-1}(t) \, {\rm d}t +\int_{1}^{2}f(t) \, {\rm d}t =0 &\overset{t=f(x)}{=\! =\! =\! =\!} \int_{1}^{2} x f'(x) \, {\rm d}x + \int_{1}^{2} f(x) \, {\rm d}x =0  \\
    &\Leftrightarrow \left [ x f(x) \right ]_1^2 + \cancel{\int_{1}^{2} f(x) \, {\rm d}x - \int_{1}^{2} f(x) \, {\rm d}x} =0\\
    &\Leftrightarrow 2 f(2) - f(1)=0 \\
    &\Leftrightarrow 2f(2) =2 \\
    &\Leftrightarrow f(2)=1
   \end{align*}
   
   
   άρα $f(2)=1$. Επειδή η $f$ είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα το σύνολο τιμών είναι το $f\left ( \left [ 1, 2 \right ] \right )= \left [ f\left ( 2 \right ), f\left ( 1 \right ) \right ] = \left [ 1, 2 \right ]$.


3.  Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει $\xi \in (1, 2)$ τέτοιο ώστε $f'(\xi)=-1$. Από Θέωρημα Μέσης Τιμής για τη παραγωγίσιμη στο $[1,2]$ συνάρτηση έχουμε ότι υπάρχει ένα $\xi \in (1, 2)$ τέτοιο ώστε
   
   $$f'\left ( \xi \right ) = \frac{f(2)-f(1)}{2-1} = \frac{1-2}{2-1} = -1$$
   
   όπως θέλαμε.


4.  Η διχοτόμος της πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων δεν είναι άλλη από την ευθεία $y=x$ Θεωρώντας τη συνάρτηση $g(x)=f(x)-x$ εύκολα διαπιστώνουμε ότι είναι γνήσια φθίνουσα καθώς και ότι $g(1)=f(1)-1 >0$ , $g(2)=f(2)-2 <0$. Οπότε από θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον $x_0 \in (1, 2)$ τέτοιο ώστε $g(x_0)=0$ το οποίο λόγω μονοτονίας είναι μοναδικό.


5.  Η $f$ ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στα διαστήματα $[1, x_0]$ και $[x_0, 2]$. Οπότε από εφαρμογή του θεωρήματος στο διάστημα $[1, x_0]$ υπάρχει ένα $\xi_1 \in (1, x_0)$ τέτοιο ώστε $f'\left ( \xi_1 \right ) = \frac{f\left ( x_0 \right )-f(1)}{x_0-1}$ και στο διάστημα $[x_0, 2]$ υπάρχει ένα $\xi_2 \in (x_0, 2)$ τέτοιο ώστε $f'\left ( \xi_2 \right ) = \frac{f(2)-f(x_0)}{2-x_0}$. Οπότε:
   
   \begin{align*}
   f'\left ( \xi_1 \right ) f' \left ( \xi_2 \right ) &=\frac{f(x_0)-f(1)}{x_0-1} \cdot \frac{f(2)-f\left ( x_0 \right )}{2-x_0} \\
    &=\frac{f\left ( x_0 \right )-2}{x_0-1} \cdot \frac{1-f(x_0)}{2-x_0} \\
    &=\frac{\left ( f\left ( x_0 \right )-2 \right )\left ( 1-f(x_0) \right )}{\left ( x_0-1 \right )\left ( 2-x_0 \right )} \\
    &\!\!\!\!\! \!\!\!\!\overset{f\left ( x_0 \right )=x_0}{=\! =\! =\! =\! =\! =\!} \frac{\left ( x_0-2 \right )\left ( 1-x_0 \right )}{\left ( x_0-1 \right )\left ( 2-x_0 \right )}\\
    &=1
   \end{align*}


6.  Θα χρειαστούμε το επόμενο λήμμα:
   
   

   Λήμμα: Αν για μία συνάρτηση $f$ θετική και γνήσια μονότονη ισχύει
   
   $$\int_{a}^{\beta} f(x) \, {\rm d}x = \frac{\beta-a}{2} \left ( f\left ( \beta \right ) + f(a) \right ) $$
   
   τότε
   
   $$\int_{a}^{\beta} \frac{1}{f(x)} \, {\rm d}x \leq \frac{\beta-a}{2} \left ( \frac{1}{f\left ( \beta \right )} + \frac{1}{f(a)} \right ) $$

   H απόδειξη αφήνεται στον αναγνώστη ως εύκολη. Τότε παρατηρούμε ότι:
   
   $$\int_{1}^{2} f(x) \, {\rm d}x = \frac{3}{2} = \frac{2-1}{2} \left ( f(2)+ f(1) \right )$$
   
   και κάνοντας εφαρμογή του λήμματος έχουμε
   
   \begin{align*}
   \int_{1}^{2} \frac{4}{f(x)} \, {\rm d}x & \leq 4\cdot \frac{2-1}{2} \left ( \frac{1}{f(2)} + \frac{1}{f(1)} \right ) \\
    &=2 \left ( 1+ \frac{1}{2} \right ) \\
    &=3
   \end{align*}