Παίζοντας με την εφαπτομένη και την αντίστροφη αυτής

Το παρακάτω θέμα προέκυψε από ένα θέμα του mathematica.gr που είχε προτείνει ο Θάνος. Συγκεκριμένα πρόκειται για το θέμα που βρίσκεται εδώ . 

Έστω η συνάρτηση $f(x)=\tan x, \; x \in \left[0, \frac{\pi}{2} \right)$.

1. Να δείξετε ότι η $f$ αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης.
2. Δεδομένου ότι η $f^{-1}$ είναι συνεχής να δείξετε ότι είναι και παραγωγίσιμη με παράγωγο
   
   $$\left ( f^{-1} \right )'(x)=\frac{1}{x^2+1}, \; x \geq 0$$
3. Να δείξετε ότι $f^{-1}(x)+f^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}$ για κάθε $x>0$.
4. Έστω $a>0$. Να υπολογίσετε τη τιμή του ολοκλήρωματος:
   
   $$\mathcal{J}=\int_{1/a}^{a}\frac{f^{-1}(x)}{x}\, {\rm d}x$$

Λύση

 

1. Γνωρίζουμε από τη θεωρία του σχολικού βιβλίου πως η εφαπτομένη είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση. Συνεπώς αντιστρέφεται. Το πεδίο ορισμού της αντίστροφης είναι το σύνολο τιμών της $f$. Όμως:
   
   $$\mathcal{R}_f = \left [ f(0), \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) \right ) = \left [ 0, +\infty \right )$$


2. Έχουμε διαδοχικά:
   
   \begin{align*}
   \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f^{-1}(x)-f^{-1}(x_0)}{x-x_0} &=\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f^{-1}(x)-f^{-1}(x_0)}{f\left ( f^{-1} (x)\right)-f\left ( f^{-1}(x_0)\right)} \\
    &\!\!\!\!\!\!\!\overset{\begin{subarray}{c} u=f^{-1}(x)\\
   x\rightarrow x_0 \\
   u=f^{-1}\left ( x_0 \right )=u_0 \end{subarray}}{=\! =\! =\! =\! =\! =\! =\! =\!} \lim_{u\rightarrow u_0} \frac{u-u_0}{f(u)-f(u_0)} \\
    &=\frac{1}{f'(u_0)} \\
    &= \frac{1}{1+f^2\left ( u_0 \right )}\\
    &=\frac{1}{1+f^2\left ( f^{-1}\left ( x_0 \right ) \right )} \\
    &=\frac{1}{1+x_0^2}
   \end{align*}
   
   διότι παρατηρούμε ότι $f'(x)=1+\tan^2 x =1+f^2(x)$. Συνεπώς η $f^{-1}$ είναι παραγωγίσιμη στο $[0, +\infty)$ με παράγωγο $\left ( f^{-1} \right )'(x)= \frac{1}{1+x^2}, \; x \in [0, +\infty)$.


3. Έστω $g(x)=f^{-1}(x)+ f^{-1} \left ( \frac{1}{x} \right ), \; x>0 $. Η $g$ είναι παραγωγίσιμη στο $(0, +\infty)$ ως πράξεις παραγωγίσιμων με παράγωγο:
   
   $$g'(x)= \frac{1}{x^2+1} - \frac{1}{x^2+1}=0$$
   
   Συνεπώς η $g$ είναι σταθερή στο $(0, +\infty)$. Για $x=1$ είναι
   
   \begin{align*}
   g(1) &=2f^{-1}(1) \\
    &=\frac{2\pi}{4} \\
    &= \frac{\pi}{2}
   \end{align*}
   
   Άρα $g(x)=\frac{\pi}{2}$ για κάθε $x>0$. Το ζητούμενο έπεται.


4. Κάνοντας την αντικατάσταση $u=\frac{1}{x}$ έχουμε διαδοχικά:
   
   \begin{align*}
   \mathcal{J} &=\int_{1/a}^{a}\frac{f(x)}{x} \, {\rm d}x \\
    &\overset{\begin{subarray}{c} u=\frac{1}{x} \\
   {\rm d} u =-\frac{1}{x^2} \, {\rm d}x \end{subarray}}{=\! =\! =\! =\! =\! =\! =\!} \int_{1/a}^{a} \frac{f\left ( \frac{1}{x} \right )}{\frac{1}{x}} \frac{1}{x^2} \, {\rm d}x \\
    &=\int_{1/a}^{a}\frac{\frac{\pi}{2}-f(x)}{x} \, {\rm d}x \\
    &= \pi \ln a - \int_{1/a}^{a}\frac{f(x)}{x} \, {\rm d}x\\
    &= \pi \ln a - \mathcal{J}
   \end{align*}
   
   Συνεπώς $$\mathcal{J} = \frac{\pi \ln a}{2}$$