Έστω $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$. Να δείξετε ότι η παράσταση
$$\mathcal{A}=\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}$$
δεν είναι ρητή.
Λύση
Προφανώς για $n=1$ έχουμε ότι $\mathcal{A}=\sqrt{2}$ το οποίο ως γνωστόν είναι άρρητος. Τώρα για $n>1$ ας υποθέσουμε ότι ο $\mathcal{A}$ είναι ρητός. Κατά συνέπεια και ο $\mathcal{A}^2$ είναι ρητός.Όμως
$$ \mathcal{A}^2 = \left ( \sqrt{n-1} + \sqrt{n+1} \right )^2 = 2n +2\sqrt{(n-1)(n+1)}=2n+ 2 \sqrt{n^2-1}$$
Συνεπώς $\displaystyle \sqrt{n^2-1} = \frac{\mathcal{A}^2-2n}{2} \in \mathbb{Q}$ αφού αυτό υποθέσαμε. Όμως για κάθε $n>1$ ισχύει $(n-1)^2< n^2-1<n^2$. Παίρνοντας ρίζα στη τελευταία διπλή ανισότητα βγάζουμε
$$n-1 < \sqrt{n^2-1} < n$$
το οποίο δίδει άτοπο αφού ο αριθμός που υποθέσαμε ότι είναι ρητός είναι ανάμεσα σε δύο διαδοχικά τετράγωνα. Συνεπώς δεν υπάρχουν τιμές του $n \in \mathbb{N} \setminus \{0 \}$ ώστε ο αριθμός $\mathcal{A}$ να 'ναι ρητός.
Ο αναγνώστης μπορεί να βρεις και άλλες ενδιαφέρουσες λύσεις στο mathematica.gr .
$$\mathcal{A}=\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}$$
δεν είναι ρητή.
Λύση
Προφανώς για $n=1$ έχουμε ότι $\mathcal{A}=\sqrt{2}$ το οποίο ως γνωστόν είναι άρρητος. Τώρα για $n>1$ ας υποθέσουμε ότι ο $\mathcal{A}$ είναι ρητός. Κατά συνέπεια και ο $\mathcal{A}^2$ είναι ρητός.Όμως
$$ \mathcal{A}^2 = \left ( \sqrt{n-1} + \sqrt{n+1} \right )^2 = 2n +2\sqrt{(n-1)(n+1)}=2n+ 2 \sqrt{n^2-1}$$
Συνεπώς $\displaystyle \sqrt{n^2-1} = \frac{\mathcal{A}^2-2n}{2} \in \mathbb{Q}$ αφού αυτό υποθέσαμε. Όμως για κάθε $n>1$ ισχύει $(n-1)^2< n^2-1<n^2$. Παίρνοντας ρίζα στη τελευταία διπλή ανισότητα βγάζουμε
$$n-1 < \sqrt{n^2-1} < n$$
το οποίο δίδει άτοπο αφού ο αριθμός που υποθέσαμε ότι είναι ρητός είναι ανάμεσα σε δύο διαδοχικά τετράγωνα. Συνεπώς δεν υπάρχουν τιμές του $n \in \mathbb{N} \setminus \{0 \}$ ώστε ο αριθμός $\mathcal{A}$ να 'ναι ρητός.
Ο αναγνώστης μπορεί να βρεις και άλλες ενδιαφέρουσες λύσεις στο mathematica.gr .
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου