Απλοποίηση τριγωνομετρικής παράστασης

Έστω $a$ πραγματικός αριθμός για τον οποίο η παράσταση

$$\mathcal{R}= \frac{\sin (\pi+a)}{\sin \left ( \frac{3\pi}{2}+a \right )} + \frac{\cos (a- \pi)}{\cos \left ( \frac{\pi}{2}+a \right )+1}$$

έχει νόημα. Δείξατε ότι $\displaystyle \mathcal{R}=-\frac{1}{\cos a}$.

Λύση

Ισχύει ότι $\sin (\pi+a)=-\sin a$ , $\sin \left( \frac{3\pi}{2} + a \right)=-\cos a$, $\cos (a-\pi)=\cos (\pi-a)=-\cos a$ και τέλος $\cos \left ( \frac{\pi}{2}+a \right ) = - \sin a$. Τότε:

\begin{align*}
\frac{\sin (\pi+a)}{\sin \left ( \frac{3\pi}{2}+a \right )} + \frac{\cos (a- \pi)}{\cos \left ( \frac{\pi}{2}+a \right )+1} &= \frac{\sin a}{ \cos a} - \frac{\cos a}{1- \sin a} \\
 &=\frac{\sin a - \sin^2 a - \cos^2 a}{\left ( 1-\sin a \right ) \cos a} \\
 &= \frac{\sin a -1}{\left ( 1-\sin a \right ) \cos a}\\
 &= -\frac{1}{\cos a}
\end{align*}