Ένα ενδιαφέρον σύστημα

Να λυθεί το σύστημα

$$\left\{\begin{matrix}
x^2+y^2=10\\
x^3+y^3=28
\end{matrix}\right.$$

Λύση

Το σύστημα μας εύκολα ανάγεται στο ακόλουθο:

$$\left\{\begin{matrix}
x^2+y^2=10\\
x^3+y^3=28
\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
\left ( x+y \right )^2 - 2xy =10\\
\left ( x+y \right )\left ( 10-xy \right )=28
\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
\kappa^2 - 2\lambda= 10\\
\kappa \left ( 10 - \lambda \right )= 28
\end{matrix}\right.$$

Οπότε ας λύσουμε το τελευταίο σύστημα. Από τη πρώτη εξίσωση παίρνουμε ότι $\lambda= \frac{\kappa^2-10}{2}$. Με αντικατάσταση στη δεύτερη σχέση έχουμε:

$$\kappa \left ( 10 - \frac{\kappa^2-10}{2} \right )=28\Rightarrow \kappa \left ( 30 - \kappa^2  \right )= 56 \Rightarrow 30 \kappa - \kappa^3 =56 \Rightarrow \kappa^3 - 30 \kappa +56 =0$$

Δοκιμάζοντας μερικές τιμές για το $\kappa$ βλέπουμε ότι το $\kappa=4$ είναι ρίζα αυτής της πολυωνυμικής εξίσωσης. Οπότε χρησιμοποιώντας Horner το πολυώνυμο παραγοντοποιείται ως εξής:

$$\left (\kappa-4 \right )\left ( \kappa +2 + 3\sqrt{2} \right )\left ( \kappa + 2 - 3\sqrt{2} \right )=0$$

Συνεπώς για $\kappa=4$ έχουμε $\lambda=3$. Για $\kappa=-2-3\sqrt{2}$ έχουμε $\lambda=\lambda=6+6\sqrt{2}$ και τέλος για $\kappa=3\sqrt{2}-2$ έχουμε $\lambda=6-6\sqrt{2}$. Οπότε πηγαίνοντας πίσω βγάζουμε τα εξής ζευγάρια λύσεων:

$$(x, y)= \left \{ (1, 3), (3,1) , \left ( \frac{-2+3\sqrt{2}+ \sqrt{12\sqrt{2}-2}}{2}, \frac{-2+3\sqrt{2} - \sqrt{12\sqrt{2}-2}}{2} \right )  , \left ( \frac{-2+3\sqrt{2} - \sqrt{12\sqrt{2}-2}}{2}  , \frac{-2+3\sqrt{2}+ \sqrt{12\sqrt{2}-2}}{2} \right )\right \} $$