Έστω $x$ ένας πραγματικός αριθμός ο οποίος ικανοποιεί τη σχέση $x^2-x-1=0$. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης:
$$\mathcal{A}=x^{10}+\frac{1}{x^{10}}$$
Λύση
Εφόσον ο $x \neq 0$ τότε η δοσμένη σχέση γράφεται ως $x-\frac{1}{x}=1$. Συνεπώς:
$$w^2 + \frac{1}{w^2} = \left ( w- \frac{1}{w} \right )^2 + 2w \cdot \frac{1}{w} = \left ( w-\frac{1}{w} \right )^2 +2=3$$
Όμοια
$$w^4 + \frac{1}{w^4} = \left ( w^2+ \frac{1}{w^2} \right )^2 - 2 w^2 \cdot \frac{1}{w^2} = 9-2 = 7 $$
Συνεχίζοντας βλέπουμε ότι $w^8 + \frac{1}{w^8}= 47$ και τέλος
$$w^{10} + \frac{1}{w^{10}} = \left ( w^2+ \frac{1}{w^2} \right )\left ( w^8 + \frac{1}{w^8} \right ) - \left ( w^2 + \frac{1}{w^2} \right )\left ( w^4 + \frac{1}{w^4} - 1 \right ) =123$$
Άρα $\mathcal{A}=123$.
$$\mathcal{A}=x^{10}+\frac{1}{x^{10}}$$
Λύση
Εφόσον ο $x \neq 0$ τότε η δοσμένη σχέση γράφεται ως $x-\frac{1}{x}=1$. Συνεπώς:
$$w^2 + \frac{1}{w^2} = \left ( w- \frac{1}{w} \right )^2 + 2w \cdot \frac{1}{w} = \left ( w-\frac{1}{w} \right )^2 +2=3$$
Όμοια
$$w^4 + \frac{1}{w^4} = \left ( w^2+ \frac{1}{w^2} \right )^2 - 2 w^2 \cdot \frac{1}{w^2} = 9-2 = 7 $$
Συνεχίζοντας βλέπουμε ότι $w^8 + \frac{1}{w^8}= 47$ και τέλος
$$w^{10} + \frac{1}{w^{10}} = \left ( w^2+ \frac{1}{w^2} \right )\left ( w^8 + \frac{1}{w^8} \right ) - \left ( w^2 + \frac{1}{w^2} \right )\left ( w^4 + \frac{1}{w^4} - 1 \right ) =123$$
Άρα $\mathcal{A}=123$.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου