Τιμή πολυωνύμου

Έστω πολυώνυμο $f$ το οποίο είναι $10$-ου βαθμού και έχει ρίζες όλους τους θετικούς ακεραίους από το $1$ εώς το $10$. Αν $f(11)=11$ να βρεθεί η τιμή $f(12)$.

Λύση

Εφόσον το πολυώνυμο είναι $10$-ου βαθμού και έχει $10$ ρίζες αυτό σημαίνει πως θα γράφεται στη μορφή

$$f(x)=\alpha \prod_{i=1}^{10} (x-x_i)=\alpha(x-1)(x-2)\cdots(x-10)$$

Όμως $f(11)=11$ συνεπώς

\begin{align*}
f(11)=11 &\Leftrightarrow  \alpha \left ( 11-1 \right )\left ( 11-2 \right )\cdots \left ( 11-10 \right ) =11 \\
 &\Leftrightarrow 10! \cdot \alpha =11   \\
 &\Leftrightarrow  \alpha = \frac{11}{10!}
\end{align*}

Για τον υπολογισμό της τιμής $f(12)$ έχουμε ότι:

\begin{align*}
f(12) &=\frac{11}{10!} \left ( 12-1 \right )\left ( 12-2 \right )\cdots \left ( 12-10 \right ) \\
 &= \frac{11}{10!} \cdot 11!\\
 &= \frac{\left ( 11 \right )^2 10!}{10!}\\
 &= 121
\end{align*}

Η άσκηση προτάθηκε από το Πάνο Γκριμπαβιώτη στο Μαθηματικό Εργαστήρι. Πληροφορίες για το παραγοντικό εδώ