Ρητός αριθμός

Έστω $\alpha=\underbrace{999\cdots 99}_{4\nu \; ψηφία}$ και $\beta=\underbrace{333\cdots 33}_{2\nu \; ψηφία}$. Δείξτε ότι ο αριθμός

$$\mathcal{R}=\sqrt{\alpha+6\beta+4}$$

είναι ρητός.

Λύση

Ο αριθμός $\alpha + 6 \beta +4$ γράφεται ως εξής:

\begin{align*}
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\underbrace{999\cdots 9}_{2\nu \; ψηφία} \cdot 10^{2\nu} +\underbrace{999\cdots 9}_{2\nu \; ψηφία}+2\cdot 3 \cdot \underbrace{333\cdots 3}_{2\nu \; ψηφία}+4&=\underbrace{999 \cdots 9}_{2\nu \; ψηφία} \cdot 10^{2\nu} + 3 \cdot \underbrace{999\cdots 9}_{2\nu \; ψηφία} +4  \\
 &=\underbrace{999 \cdots 9}_{2\nu \; ψηφία} \cdot 10^{2\nu} -\underbrace{999\cdots 9}_{2\nu \; ψηφία } +4 \cdot \underbrace{999 \cdots 9}_{2\nu \; ψηφία} +4  \\
 &=\underbrace{999\cdot 9}_{2\nu \; ψηφία} \left ( 10^{2\nu} -1 \right ) +4 \cdot \underbrace{999 \cdots 9}_{2\nu \; ψηφία} +4 \\
 &= \underbrace{999\cdots 9}_{2\nu \; ψηφία} \;^2 + 4\cdot \underbrace{999\cdots 9}_{2\nu \; ψηφία} +4 \\
 &=\left ( \underbrace{999\cdots 9}_{2\nu \; ψηφία} +2 \right )^2
\end{align*}

Συνεπώς ο $\mathcal{R}$ είναι ρητός.

Η άσκηση μπορεί επίσης να βρεθεί και στο mathematica.gr