Ύπαρξη $x_0$

Για τις συναρτήσεις $f, g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ υποθέτουμε ότι η $f$ είναι $1-1$ και επί και για αυτές ισχύει $f(x)+g(x)=2$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$. Να δείξετε ότι υπάρχει $x_0$ τέτοιο ώστε

$$f\left ( f\left ( x_0 \right ) \right ) + g \left ( g\left ( x_0 \right ) \right ) = 2$$

Λύση

Επαναληπτική ... άσκηση

Δίδεται η συνάρτηση $f:[1, 2] \rightarrow \mathbb{R}$ η οποία είναι παραγωγίσιμη με συνεχή τη πρώτη παράγωγο. Αν γνωρίζετε ότι $f(1)=2$ , $f'(x)<0$ για κάθε $x \in [1, 2]$ τότε

1. Να αποδειχθεί ότι η $f$ είναι αντιστρέψιμη.

Αν ισχύει η σχέση $$\int_{f(1)}^{f(2)} f^{-1}(t) \, {\rm d}t + \int_{1}^{2} f(t) \,{\rm d}t =0$$ όπου $f^{-1}$ είναι η αντίστροφη της $f$ για την οποία γνωρίζετε ότι είναι συνεχής τότε:


2. Να υπολογιστεί το $f(2)$ και να βρεθεί το σύνολο τιμών της $f$.
3. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα , τουλάχιστον, $\xi \in (1, 2)$ τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της $\mathcal{C}_f$ στο σημείο $\left ( \xi, f\left ( \xi \right ) \right )$ να 'ναι παράλληλη στην ευθεία $y=-x$.
4. Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει τη διχοτομό της πρώτης και τρίτης γωνίας σε μοναδικό σημείο $x_0$.
5. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν $\xi_1, \; \xi_2 \in (1, 2)$ τέτοια ώστε $f'\left ( \xi_1 \right )  f'\left ( \xi_2 \right ) = 1$. 
6. Αν ισχύει ότι $\displaystyle \int_{1}^{2} f(x) \, {\rm d}x =\frac{3}{2}$ τότε δείξατε ότι:
   
   $$\int_{1}^{2}\frac{4}{f(x)} \, {\rm d}x \leq 3$$
   

Λύση

Εύρεση αριθμού

Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού είναι $12$. Αν αλλάξουμε τη σειρά των φηφίων του, τότε ο νέος αριθμός είναι κατά $18$ μικρότερος από τον αρχικό. Ποιος είναι ο αριθμός;

Λύση

Ένα ενδιαφέρον σύστημα

Να λυθεί το σύστημα

$$\left\{\begin{matrix}
x^2+y^2=10\\
x^3+y^3=28
\end{matrix}\right.$$

Λύση

Η παράσταση δεν είναι ρητή

Έστω $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$. Να δείξετε ότι η παράσταση

$$\mathcal{A}=\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}$$

δεν είναι ρητή.

Λύση

Απλοποίηση τριγωνομετρικής παράστασης

Έστω $a$ πραγματικός αριθμός για τον οποίο η παράσταση

$$\mathcal{R}= \frac{\sin (\pi+a)}{\sin \left ( \frac{3\pi}{2}+a \right )} + \frac{\cos (a- \pi)}{\cos \left ( \frac{\pi}{2}+a \right )+1}$$

έχει νόημα. Δείξατε ότι $\displaystyle \mathcal{R}=-\frac{1}{\cos a}$.

Λύση

Τιμή παράστασης

Έστω $x$ ένας πραγματικός αριθμός ο οποίος ικανοποιεί τη σχέση $x^2-x-1=0$. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης:

$$\mathcal{A}=x^{10}+\frac{1}{x^{10}}$$

Λύση